全倉、半倉、シャープ、幾何収益率

夏普比率の公式：(Rp - Rf) / σ であり、Rpは算術的リターン、Rfは無リスク金利、σは対象資産の標準偏差を表す。
夏普比率は、「1単位の総リスクを負担した場合に得られる超過リターンはどれだけか」を示している。
ここで思考実験を行う。株式市場のベンチマークを株価指数とし、比較対象を全資産を株価指数に投資した場合と半分だけ投資した場合とする。リアルタイムで追跡し、コストや摩耗を考慮しないと仮定すると、実際の全資産の夏普比率は (Rp - Rf) / σ となる。
一方、半資産の算術リターンは 0.5Rp + 0.5Rf であり、半資産の標準偏差は 0.5σ である。これらを用いて計算すると、半資産の夏普比率は実は全資産と同じになる。
夏普比率は、「無リスク資産とリスク資産の組み合わせにより、夏普比率を維持しつつリスクエクスポージャーを調整できる」ことを示している。

しかし、これで終わりだろうか？さまざまなファンド商品は夏普比率を非常に重視しているが、実際には夏普比率は単一期間のリスクとリターンのトレードオフを測るものであり、長期的な視点ではない。
実際、長期投資、特に「複利」の表現に関しては、算術リターンではなく幾何平均リターンを指している。
幾何平均リターンは、G = Rp - 0.5σ^2 で近似的に計算できる。
簡略化のため、無リスク金利を0と仮定する。
このときの全資産の幾何平均リターンは： Rp - 0.5σ^2
半資産の幾何平均リターンは： 0.5Rp - 0.125σ^2
これを比較すると、半資産の幾何平均リターンは全資産の50%以上になることがわかる。
これがいわゆる「ボラティリティ税」であり、ボラティリティは複利の敵である。
実は、前述の夏普比率は、「対象資産が変わらない場合、ポジションコントロールは夏普比率に影響しない」ことを示している。
一方、「ボラティリティ税」はある意味で、「対象資産が変わらない場合、ポジションが小さいほど効率が良い」ことを示しているとも解釈できる。
これにより、いわゆる株と債券のバランスを取ることの持ちやすさや効果的な運用の理由が説明できるかもしれない。
もちろん、ここではポジションはリアルタイムで変動し、リバランスの影響は考慮していない。
議論を歓迎する。