全倉、半倉、夏普、幾何收益率

夏普比率公式：(Rp - Rf) / σ，其中Rp為算術收益率，Rf為無風險利率，σ為標的物的標準差。
夏普比率是在說，每承擔一單位總風險，所獲得的超額收益是多少。
現在進行思想實驗，假設股市的基準為大盤指數，比較的對象為全倉大盤與半倉大盤，實時跟蹤且不考慮磨損，那麼實際上全倉夏普比率為 (Rp - Rf) / σ；半倉的算術收益率為0.5Rp + 0.5Rf，半倉的波動率為0.5σ，計算後，半倉的夏普比率其實等於全倉。夏普比率其實是在說，通過無風險資產和風險資產組合搭配，可以在保持夏普比不變的情況下調整風險暴露。

但這就結束了嗎？各種基金產品都非常偏愛夏普比率，但實際上夏普衡量的是單期風險與收益的權衡，而非長期。
事實上，長期投資，尤其是涉及到“複利”的表述，其實在說的並不是算術收益率，而是幾何收益率。而對於幾何收益率，可以使用G = Rp - 0.5σ^2來近似計算。
為簡化，將無風險利率定為0。
此時的全倉幾何收益率為：Rp - 0.5σ^2
半倉的幾何收益率為：0.5Rp - 0.125σ^2
很容易看出，半倉的幾何收益率大於全倉的50%。
這就是所謂的“波動率稅”，波動是複利的敵人。
事實上，前文的夏普比率，其實是在說，標的物不變的情況下，倉位控制不影響夏普比率；
那麼“波動率稅”其實在某種意義上是在說，標的物不變的情況下，“倉位越小效率越高”
或許這可以解釋所謂的股債平衡為何持有體驗更好？
當然這裡默認倉位是實時變化的，並沒有考慮再平衡的影響。
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